微分積分学の史的展開

内容紹介

目次

■序――本書の読み方■
　「曲線の理論」とともに／接線法のいろいろ／接線法と求積法／曲線から関数へ

■第1章　曲線の理論のはじまり――デカルトの解析幾何学■
　デカルトの『方法序説』に始まる／いろいろな曲線／デカルトの葉（その1）／デカルトの葉（その2）／デカルトの『幾何学』より／パップスの問題（その1）――曲線の作図／3線問題と4線問題／「線」のいろいろ／パップスの問題（その2）――線分の作図／平面的な線／立体的な線と超立体的な線／曲線的な線を区分けすること／幾何学的な線と機械的な線／ギリシアの幾何学を批判する／幾何学的曲線とは何か／方程式とは何か／次数による分類／「幾何学的な線」の世界の創造に向かう／接線法を語る／微積分の可能性――法線と面積／楕円と放物線の法線／コンコイドの法線／曲線の理論と光学／発見を定義にする／数学の本質は問題の造型にあり

■第2章　曲線論と極大極小問題――フェルマのアイデア■
　デカルトとフェルマ／フェルマにおける極大極小問題／極大極小問題と曲線の理論／極大極小問題のいろいろ／極大極小問題のもう一つの例――フェルマの解法／パップスの解法／フェルマの接線法／サイクロイド（その1）／サイクロイド（その2）／古代ギリシアの接線／ギリシア数学の印象／求積法／接線の認識をめぐって／極大極小問題と接線法

■第3章　万能の接線法――ライプニッツの発見■
　「ライプニッツ1684」／切除線と向軸線／差分と微分／接線法の公理系／加減乗除の微分計算／接線の観察から微分計算の規則を抽出する／ライプニッツの微分には「変化するもの」が存在しない／接線を引くのに無限小量は要請されない／クザーヌスの影響を語る／先入観を排除すれば／曲線の形／万能の接線法／計算例など／フェルマの原理からスネルの法則を導く／逆接線法の例／微分計算は独立する／「ライプニッツ1686」／求積と微分方程式／積分のあれこれ／微分計算とガロア理論／無限小の微分と積分計算／曲線から出て曲線に向かう／一般化された逆接線法と求積法

■第4章　ヨハン・ベルヌーイの無限解析とロピタルの無限小解析■
　ヨハン・ベルヌーイを読むまで／ヨハン・ベルヌーイの『微分計算講義』の発見／ヨハン・ベルヌーイの『積分計算講義』の脚註より／ロピタルの『無限小解析』の諸言より／微分計算の公理／曲線の変曲点／「関数」の概念について／極大と極小／視点の転換――曲線から関数へ／逆接線法／ベルヌーイからオイラーへ／関数概念の発見をうながしたもの

■第5章　関数とその微分可能性をめぐって■
　高木貞治の著作『新式算術講義』から『解析概論』へ／コーシーの解析教程／高木貞治の『解析概論』と『シュヴァルツ解析学』／『シュヴァルツ解析学』第2巻「微分法」を読んだころ／微分可能性の概念規定／微分可能性のいろいろな表現／変数のない関数／変数のある関数／「変数」という言葉について／コーシーの関数概念

■第6章　フーリエの関数概念■
　積分計算の泉――「微分積分学の基本定理」とは何か／定積分について――若干の補足／連続関数と不連続関数／「まったく任意の関数」をめぐって（その1）――曲線から関数へ／「まったく任意の関数」をめぐって（その2）――要請される理由／「まったく任意の関数」のフーリエ級数展開／ディリクレの関数概念／曲線と関数／無限解析と近代解析

■第7章　コーシーの解析学と微分積分学の基本定理■
　数学の抽象性について／コーシーの『要論』／テイラー級数／原始関数と不定積分／コーシーの積分論／ルベーグ積分／コーシーの不定積分／不定積分と定積分／原始関数について／原始関数とテイラー展開／微分積分学の基本定理

■第8章　無限解析の創造■
　微分計算と積分計算／曲線とは何か／曲線の媒介変数表示／ライプニッツの接線法／有限の世界と無限小の世界／逆接線法と積分計算と微分方程式／微分積分学の基本定理／求積法とコーシーの定積分／コーシーの和と面積の算出／コーシーの定積分とコーシー以前の定積分／曲線の弧長／円の周長／ラグランジュの言葉／不易と流行／無限小の仮説と運動の仮説／ニュートンの流率法／ラグランジュの所見／ラグランジュのアイデア／ラグランジュからコーシーへ

■第9章　コーシーから高木貞治へ■
　高木貞治『近世数学史談』より／虚式と虚数／仮象の虚表示式／透明な理論と意味の消失／コーシー以前の無限小とコーシーの無限小／厳密化の代償／量と数／正の量と負の量／平均値の定理とロールの定理／ミシェル・ロール／オイラーの世界とコーシーの世界／無限の階層と関数の階層

■第10章　関数概念の発生と無限解析の変容■
　若干の回想／創造者と源泉／無限解析と無限小解析／曲線の解明に寄せる情熱／曲線を理解するということ／曲線の諒解様式と接線法／ニコラウス・クザーヌス／接線法と微分計算／曲線の極大点と極小点／微分計算と積分計算／微分積分学の基本定理について／仮象の曲線を見る／逆接線法と求積法／ベータ関数とガンマ関数／オイラー積分／変分計算――もう一つの曲線論／変分法のはじまり／曲線の理論をこえて／力学と変分計算／オイラーの三部作（その1）――曲線の解析的源泉／オイラーの三部作（その2）――微分計算／オイラーの三部作（その3）――積分計算 ／微分方程式／変分計算と関数／オイラーの方程式／最短降下線／第二変分／曲線から関数へ／クザーヌスの思想と関数概念

■終章　西欧近代の数学の礎■
　マルキ・ド・ロピタルの著作『曲線の理解のための無限小解析』／揺籃期へのあこがれ／ベルヌーイ兄弟（ヤコブとヨハン）／逆接線法と積分／『解析概論』の系譜／ライプニッツとベルヌーイ兄弟の往復書簡集／接線を引きたいと思う心／接線法の探究／史的展開の構想に寄せて

■あとがき■
　小林秀雄の文芸論集のように／「微分積分学の基本定理」をめぐって／書き残したこと