ライブ講義　大学生のための応用数学入門

はじめに

第1章　基本事項
1.1　数学記号
1.2　微分
1.3　指数関数・対数関数
1.4　ユークリッド空間とベクトル
1.5　極座標と三角関数
1.6　ベクトルの内積
1.7　三角関数の微分
1.8　積分
1.9　テーラー展開
1.10　複素数
1.11　オイラーの公式
1.12　双曲線関数
1.13　偏微分と全微分
1.14　幾何ベクトルと数ベクトル
1.15　行列
1.16　行列式（2次・3次）
1.17　行列の積
1.18　逆行列
1.19　行列の固有値と固有ベクトル
1.20　正方行列の対角化
1.21　多値多変数関数の微分と連鎖律
1.22　多変数関数の積分（重積分）

第2章　微分方程式
2.1　放射性炭素14の崩壊
2.2　微分方程式の解法: 変数分離法
2.3　温度計の感度
2.4　生物の個体群動態: ロジスティック方程式
2.5　微分方程式の解法: テーラー展開
2.6　微分方程式の解法: 数値解析
2.7　生物の個体群動態: ロトカ・ヴォルテラ方程式
2.8　化学反応速度論
2.9　運動方程式の数値解

第3章　線型代数1: 対称行列と直交行列
3.1　転置行列
3.2　正方行列のトレース
3.3　転置しても変わらないのが対称行列
3.4　統計学で出てくる分散共分散行列は対称行列
3.5　転置したら逆行列になるのが直交行列
3.6　対称行列の固有ベクトルは直交する!
3.7　主成分分析は分散共分散行列の対角化
3.8　多次元の数ベクトルをどうイメージするか?
3.9　ベクトルと機械学習

第4章　線型代数2: 線型空間
4.1　「閉じている」と体
4.2　線型空間のキモはスカラー倍と和
4.3　線型空間にはいろいろある
4.4　線型結合と重ね合わせ

第5章　線型代数3: 線型同次微分方程式
5.1　線型同次方程式・線型同次微分方程式
5.2　演算子法で微分方程式を解く
5.3　常微分方程式と偏微分方程式
5.4　重ね合わせの原理

第6章　線型代数4: 線型写像と線型微分演算子
6.1　写像は関数を拡張したもの
6.2　線型写像と線型結合
6.3　線型微分演算子
6.4　線型微分方程式

第7章　線型代数5: 線型独立・基底・座標
7.1　線型独立
7.2　線型空間の基底と次元
7.3　線型空間に座標が入る
7.4　線型写像を行列で表現する
7.5　線型写像と機械学習

第8章　線型代数6: 計量空間
8.1　内積はもともと入っていない
8.2　内積が入ると計量空間
8.3　クロネッカーのデルタ
8.4　正規直交基底
8.5　フーリエ級数で関数を表現する
8.6　複素計量空間

第9章　線型偏微分方程式1: 波動方程式
9.1　波動方程式
9.2　弦を伝わる波
9.3　人口の年齢構成
9.4　正弦波がわかれば波がわかる
9.5　波動方程式で津波を考える
9.6　波動方程式で音を考える
9.7　面を伝わる波の波動方程式

第10章　線型偏微分方程式2: 変数分離法・拡散方程式
10.1　線型偏微分方程式の変数分離法
10.2　波動方程式の初期条件・境界条件
10.3　熱伝導方程式・拡散方程式
10.4　変数分離法で拡散方程式を解く
10.5　拡散方程式の初期条件と境界条件
10.6　線型偏微分方程式と固有値・固有関数

第11章　量子力学入門
11.1　状態ベクトルが量子の全てを表す
11.2　線型写像が状態ベクトルを変化させる
11.3　シュレーディンガー方程式（行列表示）
11.4　定常状態ではエネルギーが確定する
11.5　分子軌道法で共有結合を理解しよう
11.6　固有状態どうしは直交する
11.7　シュレーディンガー方程式（偏微分方程式）
11.8　シュレーディンガー方程式は拡散・波動方程式
11.9　ここから始まる量子力学の旅

第12章　線型代数7: 行列式
12.1　2次の行列式は平行四辺形の面積
12.2　3次の行列式は平行六面体の体積
12.3　空間ベクトルどうしの外積
12.4　行列式をn次に拡張する
12.5　分析化学と線型代数

第13章　極座標・重積分・ヤコビアン
13.1　極座標を3次元に拡張する
13.2　2次元極座標上での積分
13.3　3次元極座標上での積分
13.4　多変数の置換積分はヤコビアンで

第14章　ベクトル解析1: 場の量の演算
14.1　スカラー場とベクトル場
14.2　ナブラ演算子と勾配・発散・回転
14.3　スカラー場の勾配
14.4　仕事は線積分で定義
14.5　ポテンシャルエネルギーと力
14.6　電場・電位・電圧

第15章　ベクトル解析2: フラックスとその応用
15.1　フラックスは「流れ」を表す
15.2　面の向きとフラックス
15.3　流れの向きとフラックス
15.4　内積による面積分
15.5　ベクトル場の発散
15.6　フーリエの法則と拡散方程式の拡張
15.7　線型微分演算子ラプラシアン

第16章　ベクトル解析3: ガウスとストークスの定理
16.1　ガウスの発散定理
16.2　ベクトル場の回転
16.3　ベクトル場の回転の意味
16.4　ストークスの定理

第17章　マクスウェル方程式と電磁気学
17.1　基本法則マクスウェル方程式
17.2　点電荷まわりの電場（クーロンの法則）
17.3　直線電流のまわりの磁束密度
17.4　電磁誘導
17.5　電荷の保存則
17.6　マクスウェル方程式が予言した電磁波

おわりに